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Eléments de calcul

Sauf indications contraires, les éléments sont tirés de Calendriers et chronologie - Jean-Paul Parisot et Françoise Suagher - Masson 1996 et de La saga des calendriers ou le frisson millénaire de Jean Lefort - Bibliothèque Pour La Science1998.
Le site Obliquity propose des formules équivalentes, en Anglais.

Le signe \ représente le quotient de la division entière.
13 \ 2 = 6
La division entière est notée entre crochets avec le quotient en indice.
[ Q ]N
A est l'année considérée (2006)
C est le siècle de l'année A (20)
U représente les ans de l'année A dans le siècle (06)

Indiction romaine

L'indiction romaine ne figure plus actuellement dans le Calendrier des Postes, mais on la trouvait encore il n'y a pas si longtemps. Sa disparition vient du fait qu'elle n'est liée à aucun phénomène astronomique et qu'elle n'intervient pas dans le calendrier liturgique.
A noter : il s'agit d'un des trois cycles utilisés par Scaliger pour établir le jour julien.
C'est une période de 15 ans introduite par Constantin et utilisée par son administration à des fins de taxations. L'indiction romaine fut utilisée par les papes jusqu'au IXe siècle pour dater leurs documents officiels. Dans cet emploi, le premier cycle commença le jour de l'an 313 apr. J-C.
On le calcule en ajoutant 1 au reste de la division de l'année + 2 par 15.

I = [an + 2]15 + 1
Un cycle a commencé en 1993.


Cycle solaire

Les années communes comportent 365 jours, soient 52 semaines plus un jour. Le 1er janvier se décale de 1 jour d'une année sur l'autre. Sans les années bissextiles, le calendrier se superposerait tous les sept ans. Avec le jour supplémentaire introduit tous les quatre ans, la coïncidence des jours de la semaine se répète tous les 28 ans dans le calendrier julien (dans le calendrier grégorien, il faut tenir compte des années séculaires non bissextiles). Le cycle solaire donne la position de l'année considérée dans ce cycle de 28 ans.
On le calcule en ajoutant 1 au reste de la division de l'année + 8 par 28.

S = [A + 8]28 + 1


Lettre dominicale

La lettre dominicale est la lettre qui correspond au premier dimanche de janvier si le 1er janvier est noté A, le 2 janvier B, etc. Ainsi la lettre dominicale de 1999, qui commençait un vendredi, est C. Les années bissextiles ont 2 lettres, la 2e étant utilisée à partir du mois de mars : les lettres dominicales de 2000, qui commençait un samedi, sont B et A. Les lettres vont bien entendu de A à G.
La formule dépend du calendrier (julien ou grégorien) utilisé.

Lettre dominicale julienne (*)

Lj = [6 - S - ((S - 1) \ 4)]7 + 1

Lettre dominicale grégorienne (*)

Lg = [2C - U - (U \ 4) - (C \ 4)]7+ 1
(*) 1 = A, 2 = B, etc. Pour les années bissextiles, la formule donne la 2e lettre.


Nombre d'or

Le nombre d'or n'a de sens que pour le calendrier julien. Egalement appelé cycle de Méton, il s'agit d'une période de 19 ans au bout de laquelle la lunaison revient à peu près à la même date.
Touts les détails sont disponibles sur la page du cycle de Méton.
La première année d'un cycle de Méton, la lune est nouvelle le 23 janvier. La lune se décale de 11 jours tous les ans et on peut ainsi établir une table de correspondance entre le nombre d'or et la date de la nouvelle lune de janvier et de mars.

Nombre d'or et nouvelles lunes de janvier et mars
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX
23 12 1,31 20 9 28 17 6 25 14 3 22 11 30 19 8 27 16 5

Le nombre d'or s'obtient en ajoutant 1 au reste de la division de l'année par 19. Il prend les valeurs de 1 à 19.

N = [A]19 + 1


Epacte

Les formules de calcul donnent une épacte définie comme l'age de la lune le premier janvier, diminué d'une unité, quel que soit le calendrier utilisé (julien et grégorien). Une telle définition pour l'épacte julienne est sujette à caution. Tous les détails figurent dans la page sur la date de Pâques.

Epacte julienne

Ej = [11 x [A]19 + 8]30
Ej = [11 x N - 3]30

Epacte grégorienne

Eg = [Ej + 23 - Es + El]30
23 est la correction introduite en 1582, Es est l'équation
solaire et El l'équation lunaire.
Es = -12 + C - (C \ 4)
El = -5 + ((8 x C + 13) \ 25)
Eg = [11 x [A]19 + 8 - C - (C \ 4) + (8 x C + 13) \ 25]30
Si Eg = 25 et N > 11, on note Eg = XXV


Date de Pâques

P = 45 - E + [E + L + 1]7 (en jours à compter du 1er mars)

L est la lettre dominicale.
L'épacte E est corrigée de la manière suivante :
si E = 24 et L = 4, E = -5
si E = XXV et L = 3, E = -4
si E > 23, E = E - 30 (permet de garder la même formule pour avril).
La page sur la date de Pâques contient des explications sur les exceptions des épactes 24 et XXV.
Exemple pour 2000 (grégorien).
Eg = 24 et Lg = 1
P = 45 + 6 + [-6 + 1 + 1]7 = 54. Pâques est le 23 (54-31) avril.


D'autres méthodes permettent de calculer la date de Pâques uniquement à partir de l'année.
A chaque étape, il s'agit de calculer le quotient et le reste d'une division.

Date de Pâques - Calendrier julien
Dividende Diviseur Quotient Reste
Année 4 - a
Année 7 - b
Année 19 - c
19c + 15 30 - d
2a + 4b - d + 34 7 - e
d + e + 114 31 n p

Date de Pâques - Calendrier grégorien
Dividende Diviseur Quotient Reste
Année 19 - a
Année 100 b c
b 4 d e
25 f -
3 g -
19a + b - d - g + 15 30 - h
c 4 i k
32 + 2e + 2i - h - k 7 - r
a + 11h + 22r 451 m -
h + r - 7m + 114 31 n p

Dans ces deux formules, n est le mois et p le jour de la veille de Pâques.


Un autre algorithme très élégant a été conçu par Claus Tøndering (vous comprendrez dans le texte que la netiquette m'oblige à le citer en anglais).

Version 2.8 - 15 December 2005

Copyright and disclaimer
------------------------
        This document is Copyright (C) 2005 by Claus Tondering.
        E-mail: claus@tondering.dk. (Please include the word
        "calendar" in the subject line.)
        The document may be freely distributed, provided this
        copyright notice is included and no money is charged for
        the document.

        This document is provided "as is". No warranties are made as
        to its correctness.

2.13.7. Isn't there a simpler way to calculate Easter?
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This is an attempt to boil down the information given in the previous
sections (the divisions are integer divisions, in which remainders are
discarded):

G = year mod 19

For the Julian calendar:
    I = (19*G + 15) mod 30
    J = (year + year/4 + I) mod 7

For the Gregorian calendar:
    C = year/100
    H = (C - C/4 - (8*C+13)/25 + 19*G + 15) mod 30
    I = H - (H/28)*(1 - (29/(H + 1))*((21 - G)/11))
    J = (year + year/4 + I + 2 - C + C/4) mod 7

Thereafter, for both calendars:
L = I - J
EasterMonth = 3 + (L + 40)/44
EasterDay = L + 28 - 31*(EasterMonth/4)


This algorithm is based in part on the algorithm of Oudin (1940) as
quoted in "Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac",
P. Kenneth Seidelmann, editor.

People who want to dig into the workings of this algorithm, may be
interested to know that
    G is the Golden Number-1
    H is 23-Epact (modulo 30)
    I is the number of days from 21 March to the Paschal full moon
    J is the weekday for the Paschal full moon (0=Sunday, 1=Monday,
      etc.)
    L is the number of days from 21 March to the Sunday on or before
      the Paschal full moon (a number between -6 and 28)


2.13.8. Isn't there an even simpler way to calculate Easter?
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If we confine ourselves to the years 1900-2099 and consider only the
Gregorian calendar, the formulas of the previous section can be
further simplified thus:

H = (24 + 19*(year mod 19)) mod 30
I = H - H/28
J = (year + year/4 + I - 13) mod 7
L = I - J
EasterMonth = 3 + (L + 40)/44
EasterDay = L + 28 - 31*(EasterMonth/4)

(Again, the divisions are integer divisions, in which remainders are
discarded.)

Jour julien

Dans les formules suivantes, l'opération ENT(x) représente la partie entière de x.
Par exemple, ENT(29/10) = 2.

Conversion d'une date calendaire en jour julien

Pour transformer une date de la forme JOURS/MOIS/ANNEE.

Formule pour le calendrier julien :
on pose J = JOURS
si MOIS < 3, M = MOIS + 12 et A = ANNEE - 1,
sinon M = MOIS et A = ANNEE
(on considère que janvier et février sont le 13e
et 14e mois de l'année précédente).

JD = ENT(365,25 * A) + ENT(30,6001 * (M+1)) + J + 1720994,5
Si A < 0 (-1 avant J-C), remplacer le premier terme par
ENT(365,25 * A - 0,75)

Formule pour le calendrier grégorien :
JD = 367 * ANNEE
     - ENT(1,75 * (ENT((MOIS + 9) / 12) + ANNEE))
     + ENT(275 * MOIS / 9)
     - ENT(0,75 * (1 + ENT(0,01 * (ENT((MOIS - 9) / 7) + ANNEE))))
     + JOURS
     + 1721028,5
(cette formule n'a de sens qu'après le 15 octobre 1582 grégorien)

Conversion du jour julien en date calendaire

(Utiliser l'arrondi du jour julien)
Pour le calendrier grégorien, calculer :
a = JD + 32045
b = ENT(4 * (a+36524) / 146097) - 1
c = a - ENT(146097 * b / 4)
Pour le calendrier julien, calculer :
b = 0
c = JD + 32083
Ensuite :
d = ENT(4 * (c + 365) / 1461) - 1
e = c - ENT(1461 * d / 4)
m = ENT((5 * (e - 1) + 2) / 153)
Puis :
JOUR  = e - ENT((153 * m) + 2) / 5)
MOIS  = m + 3 - 12 * ENT(m / 10)
ANNEE = 100 * b - 4800 + ENT(m / 10)

Les amateurs de développement HTML en Java trouveront sur le site de Numerical Recipes le source de ces calculs libre de droit.