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Le cycle de Méton

Les calculs utilisent les plus grandes précisions connues :
Mois lunaire : 29,5305882. Année Tropique : 365,24219878.
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Les calendriers athéniens

D'origine purement lunaire, le calendrier Athénien (voir à ce sujet le site Calendriers Saga) se basait sur une année de 12 mois d'alternativement 29 et 30 jours, soient 354 jours, dans laquelle était intercalé, selon une fréquence variable, un mois supplémentaire permettant de raccorder l'année lunaire au rythme des saisons.

Parmi différentes méthodes d'insertions utilisées, la postérité a tout d'abord retenu le système de l'octaétéride (vers 450 av. J.-C.) dans lequel 3 mois de 30 jours sont insérés dans un cycle de 8 années lunaires. L'insertion a lieu les 3e, 5e et 8e années.
Les 99 mois lunaires représentent 2922 jours. La durée moyenne d'un mois lunaire est ainsi de 29,515151 jours, trop courte de 22min 14sec. La durée moyenne d'une année solaire est de 365,25 jours, trop longue de 11min 14sec.

Un nouveau cycle fut proposé un peu plus tard par Méton. A vrai dire il n'est pas certain que Méton en soit le véritable créateur de ce cycle, et l'année même de sa découverte est incertaine (432 ou 433 av. J.-C.).
Quoiqu'il en soit, il est basé sur la concordance entre les durées de 235 lunaisons et de 19 années.
Nous manquons de détails sur la répartition des mois lunaires au cours du cycle - en tout cas je n'en ai pas trouvés. La seule chose qui est couramment publiée est la répartition des 235 mois lunaires en 7 années de 354 jours (6 mois de 29 jours et 6 mois de 30 jours), 5 années de 355 jours (5 mois de 29 jours et 7 mois de 30 jours), 1 année de 383 jours (7 mois de 29 jours et 6 mois de 30 jours) et 6 années de 384 jours (6 mois de 29 jours et 7 mois de 30 jours), soient 110 mois de 29 jours et 125 mois de 30 jours, formant un cycle de 6940 jours. Il nous manque la répartition exacte des mois dans les années du cycle.
La durée moyenne d'un mois lunaire est ainsi de 29,53191489 jours, trop longue de 1min 55sec. La durée moyenne d'une année est de 365,2631579 jours, trop longue de 30min11sec.
Le rang de chaque année dans un cycle de 19 années est connu sous le nom de nombre d'or. L'usage veut que ce nombre soit écrit en chiffre romain.

Le cycle fut amélioré en 330 par l'astronome Calippe, en enlevant 1 jour tous les 4 cycles (76 années, 940 mois, 27759 jours). La durée moyenne d'une lunaison est trop longue de 23sec, alors que l'année reprend la valeur classique de 365 jours ¼, comme l'octaétéride.

Une dernière amélioration du cycle fut apportée par l'astronome et mathématicien Hipparque, en 130 av. J.-C., en supprimant encore une fois 1 jour à 4 cycles de Calippe (304 années, 3760 mois, 111035 jours). L'erreur de la durée moyenne d'une année est de 6min 30sec, et celle d'une lunaison est de 3/10e sec. Ce résultat est remarquable, mais Hipparque avait-t-il conscience qu'il était arrivé à une telle précision ?

Utilisés pas les astronomes, ces cycles ne furent jamais d'un usage courant.

Résumés des caractéristiques des calendriers athéniens
  Octaétéride Méton Calippe Hipparque
Durée du cycle Jours 2922 6940 27759 111035
Mois 99 235 940 3760
Années 8 19 76 304
Lunaison Durée 29,51515152 29,53191489 29,53085106 29,53058511
Décalage 22:13,7 01:54,6 00:22,7 00:00,3
Année Durée 365,25 365,2631579 365,25 365,2467105
Décalage 11:14,0 30:10,9 11:14,0 06:29,8

Le cycle de Méton dans le calendrier julien

Quelques siècles plus tard (en ce qui deviendra 525 de notre ère), le prêtre Dionysius Exiguus (Denis Le Petit) publia une table des dates de Pâques reprenant la méthode de l'Eglise d'Alexandrie qui s'appuyait sur le cycle de Méton. Denis le Petit ne s'intéressait qu'à la date de Pâques, aussi seules les lunaisons pascales (celles qui commencent entre le 8 mars et le 5 avril) sont définies [1]. Les écrits de Denis Le Petit sont disponible en latin et en anglais.
On peut cependant en déduire la méthode utilisée pour répartir les 235 lunaisons dans 19 années :
A cette époque le calendrier julien est utilisé depuis plusieurs siècles et un des effets est que le cycle est en réalité le cycle de Calippe. Il s'agit en effet de répartir les 235 lunaisons dans 19 années juliennes de 365 jours ¼, soient 6939,75 jours et il existe le même rapport entre le nombre de jours, de mois et d'années des 2 cycles (27759 / 6939,75 = 940 / 235 = 76 / 19 = 4).
En réalité, la répartition des mois ignore dans un premier temps les années bissextiles (cycle de 6935 jours). En partant d'années lunaires de 354 jours (6 mois de 29 jours et 6 mois de 30 jours), on insère un mois supplémentaire de 30 jours à chaque fois que l'année lunaire est plus courte au moins 30 jours que l'année solaire. La dernière année, un 13e mois de 29 jours permet de boucler le cycle. Au total, le cycle contient 115 mois de 29 jours et 120 mois de 30 jours.
On tient compte ensuite du fait qu'à cette époque le 366e jour des années bissextiles était inséré entre le 23 et le 24 février (on peut également dire que le 24 février était doublé). Ces années là, un jour est ajouté aux lunaisons qui incluent le 24 février. Les lunaisons ont alors 30 ou 31 jours, mais la numérotation des jours n'est pas modifiée.

Il reste à répartir les 12 ou 13 lunaisons de chaque année julienne. Il semblerait qu'au cours des siècles plusieurs répartitions aient été utilisées, mais toutes étaient conçues de telle sorte que les lunaisons pascales soient identiques à celle définies par Denis le Petit.

Il est maintenant temps d'étudier la détermination de la date de Pâques.


[1] Les lunaisons pascales sont celles qui contiennent Pâques. Elles commencent entre le 8 mars et le 5 avril. En effet, la date la plus précoce retenue pour Pâques est le 22 mars. Il faut pour cela que la lune soit nouvelle le 8 mars, et que le 22 mars soit un dimanche. D'autre part, la date la plus tardive est le 25 avril. Si le 14e jour de la lune atteint cet âge le 20 mars. La pleine lune pascale est alors reportée à la pleine lune de la lunaison suivante, le 18 avril. Si ce jour est un dimanche, Pâques est le dimanche suivant, le 25 avril. La nouvelle lune correspondant à la pleine lune le 18 avril est le 5 avril, qui est ainsi la date la plus tardive pour le début de la lunaison pascale.).